去年，我们发布了13.0版本beplay体育官网下载app．下面是自那时以来树的更新，包括13.1的最新功能。

树木继续生长

在版本12.3我们介绍了树作为一种新的基本结构beplay体育官网下载app．在13.0版本中，我们为树添加了各种样式选项，在13.1版本中，我们添加了更多的样式以及各种新的基本特性。

这是对基本原理的重要更新树在13.1版中，构造函数是在每个节点上命名分支的能力，通过在关联中给出它们:

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所有树函数现在都支持关联:

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在树的许多应用中，节点的标签是至关重要的。但特别是在更抽象的应用程序中，人们经常希望处理未标记的树。在版本13.1中，函数UnlabeledTree(大致类似于UndirectedGraph)取一个有标签的树，并基本上删除所有可见的标签。这是一个标准的标记树

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这里是未标记的类比:

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在版本12.3中，我们介绍了ExpressionTree从一般的符号表达式中推导出树。我们的计划是有一个广泛的“特殊树”，适合代表不同的特定类型的象征性表达。我们在版本13.1中开始了这个过程，例如，有了“数据集树”。这是ExpressionTree将数据集转换为树:

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这里是TreeExpression“反转”，并生成一个数据集:

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(记住*树函数返回树;而树*函数接受树并返回其他内容。)

下面是一个更复杂的数据集树的“图形渲染”:

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新函数TreeLeafCount让您计算树上叶子节点的总数(基本上类似于LeafCount一般的符号表达):

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在不检查每个节点的情况下了解树的结构时，版本13.1中另一个经常有用的新函数是RootTree．这是一棵随机树:

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RootTree可以得到一个“接近根”的子树:

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它还可以得到一个“远离叶子”的子树，在这种情况下，它会向下到树中处于-2级的元素:

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在某些方面，树的样式化类似于图的样式化——尽管由于树的层次性质，有一些显著的差异。默认情况下，插入到特定树元素中的选项只影响该树元素:

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但是你可以给出规则，指定该元素下面的子树中的元素是如何受到影响的:

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在版本13.1中，现在有详细的控件可用于样式化树中的节点和边。下面是一个为节点的父边提供样式的例子:

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选择喜欢TreeElementStyle从元素的位置确定样式。TreeElementStyleFunction，另一方面，通过对每个节点上的数据应用函数来确定样式:

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这使用了每个节点的数据和位置信息:

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类比于VertexShapeFunction图,TreeElementShapeFunction提供一种通用机制来指定应如何呈现树的节点。此命名设置为TreeElementShapeFunction使每个节点显示为一个圆:

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去年，我们发布了13.0版本beplay体育官网下载app．以下是自那时以来在视觉效果和美化方面的更新，包括13.1中的最新功能。

视觉效果和美化

起初，这似乎是一个次要功能。但一旦我们实现了它，我们意识到它比我们预期的要有用得多。就像你可以用图形对象的颜色来设置图形对象的样式一样版本13.0它的填充模式)，现在在13.1版中，你可以用它的投影样式:

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投影被证明是“赋予图形生命”的好方法。

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或强调一个元素而不强调其他元素:

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它在地理图形中也很好地工作:

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DropShadowing允许详细控制阴影:它们的方向，它们的模糊程度以及它们的颜色:

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投影的“底层”比人们想象的要复杂得多。在可能的情况下，它实际上可以使用硬件GPU像素着色器-与我们一直以来使用的技术相同版本12.3为3D图形实现基于材料的表面纹理。在版本13.1中，我们明确地展示了一些众所周知的3D底纹类型。这是一个测地线多面体(是的，这是13.1版中的另一个新函数)，添加了它的表面法线(再次使用新函数)EstimatedPointNormals)：

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这里是最基本的底纹形式:每个面都是平面底纹(在这种情况下，镜面不会“捕捉”任何面):

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这里现在是Gouraud的阴影，有一些面闪烁:

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然后是Phong阴影，看起来更自然的球体:

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自从版本1.0在美国，我们已经有了一种交互式的方式来旋转和放大3d图形。(是的，34年前的机制有点原始，但它很快就或多或少地达到了现代形式。)但是在13.1版本中，我们增加了一些新的东西:“多利”进入3D图形的能力，模拟如果你真的走进图形的物理版本会发生什么，而不是仅仅缩放你的相机:

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是的，事情可能会变得有点超现实(或“惊险”)——这里是放大和缩小:

去年，我们发布了13.0版本beplay体育官网下载app．下面是自那时起列表功能的更新，包括13.1的最新功能。

超越列表:引入线程

从Mathematica和beplay体育官网下载app我们已经有了列表性的概念:例如，如果你添加两个列表，它们对应的元素将被添加:

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这是一种非常方便的机制，它通常正是你想要的。35年来，我们从未真正考虑过延长它。但如果我们看一下编写的代码，经常会发现有一些部分基本上实现了一些非常类似于列表性的东西，但稍微更一般一些。而在版本13.1我们有了一个新的象征结构，螺纹，这可以有效地让你轻松地概括榜单。考虑:

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这使用普通的列表，有效地计算:

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但是如果你想“向下一层”并将{x,y}插入到第一个列表的最低部分呢?现在你可以用螺纹做那件事:

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就其本身而言，螺纹只是一个象征性的包装:

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但一旦它出现在一个类函数中+-有属性能列在单子上的，它指定listability应该应用于内部指定的内容之后螺纹在最低级别是“线程化”的。这是另一个例子。创建一个列表:

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那么如何将每个元素乘以{1，-1}呢?我们可以这样做:

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但现在我们有了螺纹，所以我们可以说:

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你可以给予螺纹作为任何可列表函数的参数，而不仅仅是+而且次：

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你可以使用螺纹与普通的稳定性一起:

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你可以有几个螺纹S也在一起:

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螺纹顺便说一下，它的名字来源于函数线程，它显式地执行“线程”，如:

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默认情况下,螺纹将始终贯穿到列表的最低层:

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下面是一个“真实”的使用示例螺纹像这样。3D彩色图像中的数据由RGB值的三元组组成的3级数组:

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这将每个RGB三重乘以{0,1,2}:

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大多数时候，你要么想使用普通的listability，在列表的顶层操作，要么你想使用默认形式的螺纹，它在列表的最低层运行。但螺纹有一个更一般的形式，在这种形式中，您可以显式地说明您希望它在哪个级别上操作。这里是默认情况:

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这里是第1级，它就像普通的列表:

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这是进入第2关的情况:

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螺纹提供了一种非常方便的方式来执行各种数组组合操作。当“线程”对象本身具有多个层次时，就会增加额外的复杂性。在这种情况下，默认是将被线程插入的对象的最低级别与被线程插入的对象的最低级别对齐:

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下面是“普通的稳定性”行为:

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对于我们在这里看到的数组，默认行为相当于:

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有时候用这样的形式写出来会更清楚

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也就是说，数组的第一级螺纹是要与外部数组的第二层对齐。一般情况下，默认情况相当于-1→-1，指定数组的最底层在螺纹应与最底层的数组对齐在外。

去年，我们发布了13.0版本beplay体育官网下载app．这里是大学和分数阶微积分从那时起的更新，包括13.1中的最新功能。

大学微积分

改变大学微积分是Mathematica的早期成就之一。但即使是现在，我们仍在继续添加功能，使大学微积分变得更容易、更流畅——更直接地连接到应用程序上。我们一直都有这个函数D求一点的导数。现在在版本13.1中，我们添加了ImplicitD求隐导数。

例如，它可以求出的导数xy关于x,y由约束隐式决定x2 +y2 = 1:

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去掉第一个参数，你会得到标准的大学微积分“求曲线的切线斜率”:

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到目前为止，所有这些都是对我们长期存在的微积分功能的相当直接的重新包装。事实上，这些隐式导数在Wolfram|Alpha中已经存在很长时间了。beplay体育手机官网安卓版但是对于Mathematica和beplay体育官网下载app我们希望所有的东西都尽可能的一般化，并且支持微分几何中出现的东西，比如渐近和微分方程隐解的验证。除了普通的大学微积分，ImplicitD可以做一些事情，比如在由两个曲面相交定义的曲线上求第二个隐导数:

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在Mathematica和Wolfram语言beplay体育官网下载appbeplay体育手机官网安卓版集成是一个能得到答案的函数。(在Wobeplay体育手机官网安卓版lfram|Alpha中，您也可以要求一步一步的解决方案。)但特别出于教育的目的，有时也在突破可能的界限时，分步骤做积分是有用的。因此，在版本13.1中，我们添加了该函数IntegrateChangeVariables在积分中变换变量。

一个直接的问题是当你指定一个积分集成[…],集成继续做积分:

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但对于IntegrateChangeVariables你需要一个“未完成”积分。你可以用这个不活跃的，如:

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对于这个非活跃形式，我们可以用IntegrateChangeVariables要做“三角替换”:

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结果又是一个无效的形式，现在以不同的方式表示积分。激活然后进行积分:

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IntegrateChangeVariables可以处理多重积分以及命名的坐标系统。这里是把二重积分转换到极坐标

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虽然积分中变量的基本“结构”变换相当简单，但整个过程IntegrateChangeVariables是相当复杂的。“大学水平”的变量变化通常是精心安排的，很容易得出。但在更一般的情况下，IntegrateChangeVariables最后不得不做几何区域的非平凡变换，受某些约束的被积函数的困难简化，等等。

除了在积分中变换变量，13.1版还介绍了DSolveChangeVariables微分方程中的变量变换。这里是把拉普拉斯方程转换成极坐标

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有时候变量变换只是为了方便。但有时(想想广义相对论)，它会让人对一个系统产生完全不同的看法。例如，在这里，指数变换将通常的柯西-欧拉方程转换为常系数形式:

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分数微积分

一阶导数x2等于2x；二阶导数是2。导数是什么呢?这个问题(比如莱布尼茨)甚至在微积分的最初几年就被问到过。到了19世纪，黎曼和刘维尔给出了答案——在13.1版中，这个答案现在可以用新版计算机计算出来FractionalD：

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对，再求导，就会得到一阶导数

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在更一般的情况下我们有:

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这甚至适用于负导数，因此，例如，(-1)st导是一个普通积分:

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计算分数阶导数至少和计算积分一样困难。但FractionalD还能经常做吗

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尽管结果很快就会变得相当复杂:

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为什么FractionalD一个单独的函数，而不仅仅是泛化的一部分D？我们讨论了很久。我们引入显式的原因FractionalD分数阶导数并没有唯一的定义。事实上，在版本13.1中，我们还支持Caputo分数阶导数(或微分积分)CaputoD．

对于的导数x2、答案还是一样:

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但是只要函数不为零x= 0，答案可以不同:

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CaputoD是分数阶微分的一个特别方便的定义当我们处理拉普拉斯变换和微分方程时。在版本13.1中，我们现在只能计算CaputoD也可以做积分变换，解相关的方程。

这是一个-阶微分方程

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还有-o (1

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以及π阶的:

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注意MittagLefflerE．这个函数(我们在版本9.0)在分数阶导数中起着同样的作用经验值对于普通的导数。