在小学，长算式被认为是基本的数学技能。在过去的几十年里，在美国，长算术传统上是在一年级到五年级之间引入的，并且对所有年龄段的学生都至关重要。

的国家数学共同核心标准说明一年级学生应该学习如何将“一个两位数和一个一位数”相加。到了二年级，学生们“在1000以内加减法”，特别是“将策略与书面方法联系起来”。三年级开始学习10的幂乘法，四年级学生的任务是“利用位值的理解和运算的性质来进行多位数算术”，包括乘法和除法。一个五年级的学生不仅要“用标准算法流利地做多位数整数的乘法”，还要“小数的加、减、乘、除”。

现在,beplay体育手机官网安卓版Wolfram | Alpha职业返回一步一步的解决方案适用于较长的加减乘除问题，包括涉及小数或负数的问题。我们还开发了详细的分步解决方案，用于整数和负数的长除法，以及用于高中水平的多项式的乘法和除法。

长算术在Wolfram|Alphabeplay体育手机官网安卓版

长算术用于在书写中解决加法、减法、乘法和除法问题，通常是将数字一个接一个地排列，并将数字排成一列。

冗长的算术算法植根于位置值的概念。在我们以10为基数的数字系统中，每个数字代表与其在数字中的位置相关的某个值的计数。例如，一个没有小数点的三位数使用三位数值:百位、十位和个位。根据数字的数字对齐相当于用相同的位值排列数字。虽然冗长的算术算法可以在每次都不充分考虑位值推理的情况下进行，但它在概念上对学生来说是有用的，例如，乘以1，乘以10，乘以数百，然后将这些结果组合起来得到最终结果。

对于第一次看长算术的学生来说，这是一个挑战。此外，由于有各种各样的长算法，这对父母来说是一个挑战，帮助他们的学生。如果你觉得每一代人都在学习一种新的算术方法，那可能不是你的记忆有问题!事实上，长算术算法有很多种变体，你在学校学哪一种取决于各种因素，从地理区域到教师偏好再到课程更新。

逐步解决问题

长增加

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如果您要求Wolfrabeplay体育手机官网安卓版m|Alpha添加几个数字，则可以查看执行计算的逐步解决方案长增加．首先，我们以小数点为指导，根据位值将数字排列成列:

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beplay体育手机官网安卓版Wolfram|Alpha然后引导您通过长加法算法的每一步。通常，这涉及到将每列中的数字从右向左相加。如果一列中的数字和为10或10以上，则将第一位数字移到左侧的列中。

从概念上讲，将一列中的数字相加意味着计算特定位置值中的单位数。例如，在接下来的步骤中，将第一百列中的6 + 9 + 4加起来，第一百列中有19个单位。百分之十九等于1 / 10和9 / 100，所以我们把9 / 100记在百分之一列，把1 / 10移到第十列的另一个十分位数:

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这个分步解决方案将指导您在每一列中添加数字，此时您可以从网格底部读取最终答案:

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长减法

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beplay体育手机官网安卓版Wolfram|Alpha还返回一步一步的解决方案长减法由一个较大的数变成一个较小的数。我们通过在纸上排列数字开始设置问题:

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长减法算法通过从每列的上一位数字减去下一位数字来进行。如果下位数字比上位数字大，我们必须从左边的列中借位。我们在长减法网格中表示，将百位列中的3替换为2，并将借来的1移到十位列中，得到14个10:

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漫长的减法借用过程可以用位值来解释。在前面的步骤中，因为4个10比9个10小，所以需要在十位上借位。因此，我们把目光从十列移到百列，这样我们就可以考虑用100和4个十减去9个十。从概念上讲，这将这一步的相关减法问题从40 - 90改变为140 - 90。在长减法网格中，这只出现在14 - 9 = 5;数字的位置值以它们在长减法网格中数字的位置编码:

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在分步解中列举了每个借位和减法步骤。当底部的数字中不再有任何数字时，我们可以从上面的数字中取下任何剩余的数字，并从长算术网格的底部读取最终答案:

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长乘

一步一步的长乘，我们最近增加了小数和负数相乘的功能。使用小数或负数执行长乘法算法，只需将算法复制为整数，然后在报告最终答案之前将小数或负数放在额外的步骤中。

在1988年的电影中，伟大的杰米·埃斯卡兰特如是说站立和传递“负数乘以负数得正!”两个负数相乘的分步解决方案解释了你可以在继续使用冗长的乘法算法之前有效地忽略负号:

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长乘法算法的一个步骤是用第二个数字的一个数字乘以第一个数字的每个数字，必要时将每个乘积的十位带入。在分步解决方案中总结了每一步:

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最后，如果我们乘的是十进制数字，我们在最后的答案中写下小数点，这相当于把原始数字中小数之后的位数加起来:

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长除法

的最终结果长除法并不总是以单个数字给出。当一个数不能被另一个数整除时，长除法会同时显示商和余数:

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报告长除法问题结果的另一种方法是使用一个混合数，有时也称为混合分数:

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不管你如何呈现最终答案，执行长算术算法的步骤都是相同的。我们首先以稍微不同的布局排列数字，使用除法括号，而不是像之前的算法那样垂直堆叠数字。括号左边的数字是除数，括号里面的数字是被除数:

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长除法算法的每一步都需要多个子步骤。首先，如果除数有两位数字，就像我们的例子一样，你需要确定除数是被除数的前两位数字的几倍。把这个数字写在除法括号的上方，用除数乘以这个数字，用除数减去这个乘积，然后把下一位数字写下来:

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唷!需要一些额外的说明吗?如果是这样，你并不孤单。众所周知，长除法是一种极具挑战性的长算术方法。背后的多个中间步骤按钮，因此，你可以看到乘法和减法分别被计算出来，括号中的每一个加法一次解释一个:

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在执行长除法算法的步骤之后，直到没有更多的被除数，最后一个步骤将指导您完成寻找商和余数的过程，如果需要，还可以将结果表示为混和数:

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目前，Wolfram|beplay体育手机官网安卓版Alpha只返回整数的分步长除法解，而不是十进制数。我们期待着在不久的将来扩展对长除法的逐步支持，包括小数。

多项式算法

在高中，学生们用数字扩展长算术，应用到称为多项式的数学表达式中。多项式是包含变量和指数的项的和，比如3x²+ 4x- 5所示。多项式可以使用类似于数值算术的方法进行加、减、乘和除。多项式的乘法和除法是高中和大学数学课程的关键技能。我们最近扩展了多项式乘法和除法问题的分步解。

数的长算术和多项式的长算术有相似之处。数字中的数字可以根据其位值进行分组，而多项式中的项可以根据变量的指数进行分组。

在高中，学生们学习如何“加法、减法和乘法多项式”，以及“使用检验、长除法，或者对于更复杂的例子，使用计算机代数系统”对多项式进行除法。beplay体育手机官网安卓版Wolfram|Alpha是处理这些复杂例子的完美工具，特别是因为我们还展示了如何通过逐步多项式长除法得到解决方案。

“盒法”多项式乘法

一种常用的方法多项式相乘，通常被称为“盒法”，涉及到围绕网格的外部组织多项式的项。分步解决方案解释了如何确定网格的大小:

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接下来，我们通过将每个行-列对中的项相乘来填充网格中的每个方框。这些步骤中的每一步都在逐步解决方案中概述，中间步骤给出了如何乘以每对多项式项的详细信息:

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最后，我们通过将所有方框中的项相加得到多项式乘法问题的结果:

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方框法作为每个多项式项的成对相乘的可视化是特别有用的。我们还致力于开发多项式乘法的其他方法，包括多项式长乘法(格式类似于数字乘法)以及美国高中常用的“箭头”和“铝箔”方法。

多项式长除法

最后，我们还改进了对多项式长除法问题。多项式长除法遵循一种类似于整数长除法的算法，但在跟踪变量和指数方面有额外的要求。要用一个多项式除以另一个多项式，我们设置一个长除法括号，里面是被除数(或分子)，外面是除数(或分母):

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整数长除法算法的“先乘后减”结构与多项式长除法算法相同。“除数的第一项是几次?”，可以大致翻译成“还有多少最高幂。x除数的第一项是否大于除数的第一项?”从数学上讲，我们将“领先项”称为具有最高次幂的红利项x然后确定除数需要乘以什么来匹配除数的前导项。倍数记录在括号的顶部，乘法的结果记录在网格的底部并减去。因为做多项式长除法的学生已经熟悉整数长除法了，所以这整个步骤是内联总结的:

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一旦我们完成了最后的减法，商和余数出现在长除法网格的相同位置，就像整数长除法一样。最后的结果可以用分数的形式来表示，也可以用除数乘以商的形式来表示，即我们所说的“商和余数形式”:

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未来的工作

Wolfbeplay体育手机官网安卓版ram|Alpha数学团队希望进一步扩大其对长算术的逐步覆盖。我们继续致力于为长算法添加更多的方法，包括相同算法的替代表示。虽然基本的概念算术算法在教师或地区之间没有变化，但在表示长算术问题的过程和方法上有一些变化。不同的教师对向学生传达内容的方法有不同的偏好，可视化算法的列和程序的安排也因地区而异。

我们也在努力在传统的长算术算法之外添加更多的方法，比如强调算术背后不同数学概念的可视化方法。我们希望为学生、家长和教师提供有用的工具来进行长算术题，如果有特别的加减乘除方法你会觉得有用，欢迎反馈或请求。